Gia sư sư phạm » Thư viện học

Bài tập tổng hợp về Tứ Giác (Trang 2)

 [Giasudhsphn.com] – Bài tập Tổng hợp về tứ giác – do trung tâm gia sư sư phạm Hà Nội biên soạn.

 I/Bài tập về tứ giác ( Toán 8.tập1).

Bài 2.   Cho hình thang cân ABCD (AB // CD). Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của AB, BC, CD, DA.

a)  Chứng minh:  Tứ giác MNPQ là hình bình hành.

b)  Chứng minh: Tứ giác MNPQ là hình thoi.

c)  Nếu AC vuông góc với BD thì tứ giác MNPQ là hình gì? Vì sao?

 Lời Giải

 a)  Chứng minh:  Tứ giác MNPQ là hình bình hành.

- Xét ΔABD, ta có :

  • MA = MB (gt)
  • QA = QD (gt)

=> MQ là đường trung bình của ΔABD.

=> MQ // BD và MQ = BD/ 2       (1)

- Xét ΔABC ta có:

  • MA = MB   (gt)
  • NB = NC    (gt)

=> MN là đường trung bình của ΔABC.

=> MN//AC và AC = AC/2          (2)

- Chứng minh tương tự ta được:

NP//BD và NP = BD/2                  (3)

Từ (1) , (2) ta có:

  • MQ//NP (vì cùng //BD)
  • MQ = NP (vì cùng = BD)

=> Tứ giác MNPQ là hình bình hành ( điều cần chứng minh).

b)  Chứng minh: Tứ giác MNPQ là hình thoi.

ta có :

  • AC = BD ( hai đường chéo của hình thang cân ABCD(cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường))
  • NM = AC/2   (cm câu a)
  • MQ = BD/2   (cm câu a)

=> NM = MQ

Xét hình bình hành MNPQ, ta có :

NM = MQ (cmt)

=> hình bình hành MNPQ là hình thoi (điều cần chứng minh).

c)  Nếu AC vuông góc với BD thì tứ giác MNPQ là hình gì? Vì sao?

- Nếu AC vuông góc với BD thì:

  • NM // AC (cmt)
  • NP // BD (cmt)

=> NM vuông góc với NP tại N

hay: góc MNP = 90 độ.

- Xét hình thoi MNPQ , ta có :

góc MNP = 90 độ ( cmt).

=> Hình thoi MNPQ là hình vuông ( điều cần chứng minh).

Bài 3 : Cho tam giác ABC vuông tại A (AB > AC), đường trung tuyến AO. Trên tia đối của tia OA lấy điểm D sao cho OD = OA.

a) Chứng minh rằng : ABDC là hình chữ nhật.

b) Từ B kẻ BH vuông góc AD tại H, Từ C kẻ CK vuông góc AD tại K. Hãy chứng minh  BH = CK và BK // CH.

c) Tia BH cắt CD ở M, tia CK cắt AB ở K. chứng minh rằng:  3 điểm M, O, N thẳng hàng.

d) Trên tia đối của tia BH lấy điểm E sao cho BE = AD. Chứng minh rằng: góc DCE = 45 độ.

 Lời Giải

 a) Chứng minh rằng : ABDC là hình chữ nhật.

Xét tứ giác ABDC, có :

  • OB = OC ( đường trung tuyến AO của ΔABC).
  • OA = OD (gt)

=> Tứ giác ABCD là hình bình hành

mà: góc BAC = 90 độ ( gt)

=> Hình bình hành ABCD là hình chữ nhật ( đpcm).

b) Chứng minh rằng: BH = CK và BK // CH.

- Xét ΔHOB và ΔCOK , ta có:

  • góc BHO = góc CKO = 90 độ ( gt)
  • OB = OC ( cmt)
  • góc O1 = góc O2 ( đối đỉnh)

=> ΔHOB  =  ΔCOK ( g.c.g)

=> OK = OH (cạnh tướng ứng).

- Xét tứ giác BHCK, ta có :

  • OH = OK (cmt)
  • OB = OC (cmt)

Mà hai đường chéo BC và HK cắt nhau tại O.

=> tứ giác BHCK là hình bình hành

=> BH = CK và BK // CH ( đpcm).

c) Chứng minh rằng:  3 điểm M, O, N thẳng hàng.

Xét tứ giác BMCN, ta có :

  • BM // CN (cùng vuông góc AD)
  • BN // CM

=> tứ giác BMCN là hình bình hành

=> hai đường chéo BC và NM cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.

Mà : OB  = OC (cmt)

=> OM = ON

Hay 3 điểm N, O, M thẳng hàng (đpcm).

d) Chứng minh rằng: góc DCE = 45 độ.

Ta có :

  • BC = AD (hai đường chéo của hình chữ nhật ABDC )
  • BE = AD (gt)

=> BE = BC ( = AD)

=> ΔEBC cân tại B.

=> góc BCE = góc BEC

Mặt khác ta lại có:

  • góc ECN = góc BEC ( so le trong).

=> góc ECN = góc BCE            ( 1)

Mà : OD = OC (O là giao điểm hai đường chéo hình chữ nhật ABCD )

=>  ΔCOD cân tại O.

=> góc DCB = góc ADC

Ta lại có:

  • góc ADC = góc NCA ( vì cùng phụ với góc DAC)

=> góc NCA = góc DCB            (2)

Cộng (1) và (2) ta có:

góc NCA + góc ECN = góc DCB + góc BCE

=> góc ECA = góc DCE

=> CE là tia phân giác của góc ACD

=> góc DCE = góc ACD/2 = 45 độ (đpcm).

II/Bài tập rèn luyện

Bài 1: Cho DABC vuông tại A, vẽ trung tuyến AM.

a) Nếu cho AB = 6cm, AC = 8cm. Tính độ dài đoạn thẳng AM.

b) Gọi D, E lần lượt là trung điểm của AB, AC. Chứng minh tứ giác AEMD.

c) Gọi F là điểm đối xứng của điểm E qua D. Tứ giác EFBC làhình gì? Chứng minh.

d) DABC cần có thêm điều điện gì thì AEMDlà hình vuông?

Bài 2: Cho ΔABC vuông ở C . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của BC , AB . Gọi P là điểm đối xứng của M qua N .

a)  Chứng minh: Tứ giác MBPA là hình bình hành.

b)  Chứng minh: Tứ giác PACM là hình chữ nhật .

c)  CN  cắt PB ở Q . Hãy chứng minh  BQ = 2 PQ

d) ΔABC có thêm điều kiện gì? thì hình chữ nhật PACM là hình vuông .

Bài 3: Cho ΔABC. Gọi D, E lần lượt là trung điểm của AB và BC.

a) Chứng minh rằng:  tứ giác ADEC là hình thang.

b) Trên tia đối của tia DE lấy điểm F sao cho DF = DE.Chứng minh tứ giác AEBF là hình bình hành.

c) Với điều kiện nào của ΔABC để AEBF là hình vuông?

Bài 4: Cho Δ nhọn ABC, kẻ Ax vuông góc với AB tại A, kẻ AE vuông góc với BC tại E, phân giác góc ABC cắt Ax tại D  và AE tại F. Kẻ DG vuông góc với BC tại G, gọi I là điểm đối xứng F qua BC. Hãy chứng minh:

a) Tứ giác ADGF là hình thoi.

b) Tứ giác ADGI là hình thang cân.

Trang 2

 

 

 

 

 

You can leave a response.