Gia sư sư phạm » Thư viện học

Bài tập nâng cao về các hằng đẳng thức đáng nhớ (Tiếp)

 [Giasudhsphn.com] – Bài tập nâng cao về các hằng đẳng thức đáng nhớ do trung tâm gia sư sư phạm Hà Nội biên soạn.

  I/ Bài tập vận dụng cho các hằng đẳng thức (4), (5), (6), (7).

Bài 1. Tính giá trị của các biểu thức:

a) a³ + 3a² + 3a + 6  với a = 29.

b) a³ – 3a² + 3a + 1   với a = 101.

Lời Giải

a) A = a³ + 3a² + 3a + 6 = a³ + 3a² + 3a +1 + 5 = (a + 1)³ + 5

Với a = 29 => A = (29 + 1)³ + 5 = 27005.

b) B = a³ – 3a² + 3a + 1 = a³ – 3a² + 3a  – 1 + 2 = (a – 1)³ + 2

Với a = 101 => B = (101 – 1)³ + 2 = 1000002.

Bài 2. Rút gọn biểu thức:

a) A = x(x – 1)(x + 1) – (x + 1)(x² – x + 1)

b)B = 3x2 (x + 1)(x – 1) – (x2 – 1)(x4 + x2 + 1) + (x2 – 1)3

Lời Giải

A = x(x – 1)(x + 1) – (x + 1)(x² – x + 1)

     = (x + 1)[(x² - x) - (x² - x + 1)] = (x + 1)(x² – x – x² + x – 1) = (x + 1) (-1) = -x – 1

b) B = 3x2 (x + 1)(x – 1) – (x2 – 1)(x4 + x2 + 1) + (x2 – 1)3

= (x² – 1)[3x² - (x4 + x2 + 1) + (x2 – 1)² ]

= (x² – 1) ( 3x² – x4 – x2 – 1 + x4  – 2x2 + 1) = (x² – 1) . 0 = 0

Bài 3*. Cho a + b + c + d = 0. Chứng minh rằng:  a³ + b³ + c³ + d³ = 3(ab – cd)(c + d).

Lời Giải

Ta có a + b + c + d = 0 nên a + b = -( c + d). Do đó ta có thể suy được ra: (a + b)³ = -(c + d)³

Tức là:  a³ + b³ + 3ab(a + b) = -c³ – d³ – 3cd(c + d)

Hay: a³ + b³ + c³ + d³ = -3ab(a + b) - 3cd(c + d)

Chú ý rằng:  a + b = -( c + d) nên vế phải của hằng đẳng thức trên bằng  3ab(c + d)  - 3cd(c + d)  = 3(ab – cd)(c + d) (đccm)

II/ Bài tập tự giải.

Bài 1. Tính giá trị của các biểu thức:

a) a³+ 1 + 3a + 3a²  với a = 9.

Đ/S: 1000

b) x³ + 3x² + 3x  với x = 19.

Đ/S: 7999

Bài 2. Rút gọn các biểu thức:

(a + b + c)³ + (a – b – c)³ + (b – c – a)³ + (c – a – b)³

Gợi ý: [a + (b + c)]³ + [a - (b + c)]³ + [(b - c) - a]³ – [(b - c) + a]³

Đ/S: 24abc.

Bài 3. Tìm x biết:

6(x + 1)² – 2(x + 1)³ + 2(x – 1)(x² + x + 1) = 1.

Đ/S: x = -1/6

Bài 4. Chứng minh các hằng đẳng thức:

a) a³ + b³ = (a + b)³ – 3ab(a + b)

b) (a + b + c)³ = a³ + b³ + c³ + 3(a + b)(b + c)(c + a)

Bài 5. Cho a + b + c = 0. Chứng minh rằng: a³ + b³ + c³ = 3abc.

Bài 6. Tính giá trị của biểu thức: M = 2(a³ + b³) – 3(a² + b²). Biết: a + b = 1.

Đ/S: M = -1.

 

 

 

 

 

 

 

 

You can leave a response.